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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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3. Calcular aplicando el método de integración por partes.
d) ∫x2sin⁡(x)dx\int x^{2} \sin(x) dx

Respuesta

Elegimos f(x)=x2 f(x) = x^2 y g′(x)=sin⁡(x) g'(x) = \sin(x) . Entonces, f′(x)=2x f'(x) = 2x y g(x)=−cos⁡(x) g(x) = -\cos(x) .
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫x2sin⁡(x) dx=x2(−cos⁡(x))−∫2x(−cos⁡(x)) dx \int x^2 \sin(x) \, dx = x^2 (-\cos(x)) - \int 2x (-\cos(x)) \, dx
=−x2cos⁡(x)+2∫xcos⁡(x) dx = -x^2 \cos(x) + 2 \int x \cos(x) \, dx
Y de nuevo vamos a tener que aplicar por partes en a ∫xcos⁡(x) dx \int x \cos(x) \, dx :
Elegimos f(x)=x f(x) = x y g′(x)=cos⁡(x) g'(x) = \cos(x) . Entonces, f′(x)=1 f'(x) = 1 y g(x)=sin⁡(x) g(x) = \sin(x) .
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫xcos⁡(x) dx=xsin⁡(x)−∫1sin⁡(x) dx \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int 1 \sin(x) \, dx
=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx
=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C = x \sin(x) + \cos(x) + C
Sustituimos esto en la expresión original:
−x2cos⁡(x)+2(xsin⁡(x)+cos⁡(x))+C -x^2 \cos(x) + 2 \left( x \sin(x) + \cos(x) \right) + C
=−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+C = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C
Por lo tanto,
∫x2sin⁡(x) dx=−x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)+2cos⁡(x)+C \int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C
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